Rodák z Vrbového strávil väčšinu hráčskej kariéry v Spartaku Trnava, hral zaň v rokoch 1958–1961 a 1966–1977. Pri príležitosti prvého výročia jeho smrti Spartak vyradil z používania číslo 10, ktoré si obliekal práve Jozef Adamec. V tomto tíme si ho teda už neoblečie iný futbalista.
„Pri príležitosti prvého výročia úmrtia legendárneho futbalistu sa FC Spartak Trnava rozhodol uviesť Jozefa Adamca do klubovej Siene slávy a zároveň na jeho počesť vyradiť číslo 10 z kolekcie zápasových dresov,“ referuje oficiálny web klubu.
Legendárny „Hatrlo“ odohral v reprezentačnom drese Československa 44 zápasov a v roku 1962 sa tešil zo zisku striebornej medaily na majstrovstvách sveta v Čile. V roku 1968 strelil hetrik do siete Brazílie (dokázal to ako prvý hráč na svete, pozn.) a zahral si aj na MS 1970. Na klubovej úrovni hrával prevažne v Spartaku Trnava, s ktorým oslavoval päťkrát majstrovský titul v domácej súťaži (1968, 1969, 1971, 1972 a 1973) a s „andelmi“ postúpil aj do semifinále Európskeho pohára majstrov v sezóne 1968/1969.
Druhý najlepší slovenský futbalista 20. storočia po Jánovi Popluhárovi v domácej ligovej odohral 383 zápasov a zaznamenal v nich 170 gólov, z toho 138 za Trnavu, 17 v Dukle Praha a 15 v bratislavskom Slovane. Štyrikrát sa stal držiteľom Pohára Práce pre najlepšieho strelca ligy (1967, 1968, 1970 a 1971). V historickej tabuľke je medzi kanoniermi ako najlepší Slovák na 3. mieste, v Klube ligových kanonierov časopisu Gól vlastní odznak číslo 5.
Po úspešnej hráčskej kariére pôsobil dlhé roky ako tréner. Okrem domácich klubov Spartak Trnava, Inter Bratislava, DAC Dunajská Streda, Tatran Prešov či Slovan Bratislava zažil aj angažmány v Česku a Rakúsku. Ako asistent účinkoval pri federálnom reprezentačnom tíme Československa. Neskôr od 26. februára 1999 do 30. novembra 2001 bol koučom národného mužstva SR.